regression: линейная и нелинейная регрессия

Трансформация regression в Vega-Lite используется для построения регрессионных моделей непосредственно внутри спецификации визуализации. Она позволяет вычислять линию тренда, аппроксимирующую набор точек, без предварительной обработки данных во внешнем коде.

Регрессия применяется для:

анализа зависимости между переменными;
визуального выявления трендов;
построения линейных и полиномиальных моделей;
оценки динамики изменения величин;
построения прогнозных линий.

Трансформация особенно полезна при исследовании временных рядов, статистических данных, научных измерений и бизнес-метрик.

Базовый принцип работы

Регрессия вычисляет зависимость:

[ y = f(x)]

где:

x — независимая переменная;
y — зависимая переменная.

На вход подаются обычные данные точечной диаграммы, а Vega-Lite автоматически вычисляет новую серию точек, представляющих линию регрессии.

Простейшая линейная регрессия

Исходные данные:

const data = [
  {x: 1, y: 1.2},
  {x: 2, y: 2.1},
  {x: 3, y: 2.9},
  {x: 4, y: 4.2},
  {x: 5, y: 5.1}
];

Построение scatter plot с линией регрессии:

const spec = {
  data: {
    values: data
  },

  layer: [
    {
      mark: "point",

      encoding: {
        x: {field: "x", type: "quantitative"},
        y: {field: "y", type: "quantitative"}
      }
    },

    {
      transform: [
        {
          regression: "y",
          on: "x"
        }
      ],

      mark: {
        type: "line",
        color: "red"
      },

      encoding: {
        x: {field: "x", type: "quantitative"},
        y: {field: "y", type: "quantitative"}
      }
    }
  ]
};

Как работает regression

Ключевые параметры:

Параметр	Назначение
`regression`	Поле зависимой переменной
`on`	Поле независимой переменной
`method`	Тип регрессии
`order`	Степень полинома
`extent`	Диапазон X
`groupby`	Группировка
`params`	Возврат коэффициентов

Линейная регрессия

Линейная модель описывается уравнением:

genui{“math_block_widget_always_prefetch_v2”:{“content”:“y=ax+b”}}

где:

a — коэффициент наклона;
b — смещение.

Линейная регрессия используется чаще всего, поскольку:

проста;
хорошо интерпретируется;
быстро вычисляется;
подходит для большого числа задач.

Явное указание метода

По умолчанию Vega-Lite использует линейную регрессию, однако метод можно указать явно.

{
  transform: [
    {
      regression: "y",
      on: "x",
      method: "linear"
    }
  ]
}

Нелинейная регрессия

Vega-Lite поддерживает несколько типов моделей:

Метод	Описание
`linear`	Линейная
`log`	Логарифмическая
`exp`	Экспоненциальная
`pow`	Степенная
`quad`	Квадратичная
`poly`	Полиномиальная

Логарифмическая регрессия

Используется для процессов, быстро растущих в начале и замедляющихся далее.

Математическая форма:

genui{“math_block_widget_always_prefetch_v2”:{“content”:“y=a+b(x)”}}

Пример:

{
  transform: [
    {
      regression: "y",
      on: "x",
      method: "log"
    }
  ]
}

Типичные сценарии:

насыщение аудитории;
замедление роста;
diminishing returns;
обучение моделей.

Экспоненциальная регрессия

Используется при экспоненциальном росте или распаде.

Формула:

genui{“math_block_widget_always_prefetch_v2”:{“content”:“y=ae^{bx}”}}

Пример:

{
  transform: [
    {
      regression: "y",
      on: "x",
      method: "exp"
    }
  ]
}

Подходит для:

роста популяции;
вирусного распространения;
сложных процентов;
радиоактивного распада.

Степенная регрессия

Модель вида:

genui{“math_block_widget_always_prefetch_v2”:{“content”:“y=ax^b”}}

Пример:

{
  transform: [
    {
      regression: "y",
      on: "x",
      method: "pow"
    }
  ]
}

Используется:

в физике;
инженерных расчётах;
биомеханике;
анализе масштабирования.

Квадратичная регрессия

Квадратичная модель:

genui{“math_block_widget_always_prefetch_v2”:{“content”:“y=ax^2+bx+c”}}

Пример:

{
  transform: [
    {
      regression: "y",
      on: "x",
      method: "quad"
    }
  ]
}

Подходит для:

параболических зависимостей;
анализа ускорения;
моделирования траекторий;
экономических кривых.

Полиномиальная регрессия

Полиномиальная модель позволяет задавать произвольную степень полинома.

Общий вид:

y=a_0+a_1x+a_2x^2++a_nxn

Использование method: poly

{
  transform: [
    {
      regression: "y",
      on: "x",
      method: "poly",
      order: 3
    }
  ]
}

Здесь:

order: 3 означает кубическую регрессию;
модель будет учитывать изгибы кривой.

Полный пример полиномиальной регрессии

const spec = {
  data: {
    values: [
      {x: 0, y: 1},
      {x: 1, y: 2},
      {x: 2, y: 5},
      {x: 3, y: 10},
      {x: 4, y: 17},
      {x: 5, y: 26}
    ]
  },

  layer: [
    {
      mark: "point",

      encoding: {
        x: {
          field: "x",
          type: "quantitative"
        },

        y: {
          field: "y",
          type: "quantitative"
        }
      }
    },

    {
      transform: [
        {
          regression: "y",
          on: "x",
          method: "poly",
          order: 2
        }
      ],

      mark: {
        type: "line",
        color: "green",
        strokeWidth: 3
      },

      encoding: {
        x: {
          field: "x",
          type: "quantitative"
        },

        y: {
          field: "y",
          type: "quantitative"
        }
      }
    }
  ]
};

Параметр order

order определяет степень полинома.

Значение	Тип
1	Линейная
2	Квадратичная
3	Кубическая
4+	Более сложные кривые

Опасность переобучения

Слишком высокая степень полинома приводит к переобучению.

Признаки:

кривая чрезмерно изгибается;
линия проходит почти через все точки;
модель плохо обобщает данные.

Например:

{
  method: "poly",
  order: 10
}

Такая модель может быть статистически бессмысленной при небольшом количестве точек.

Управление диапазоном через extent

По умолчанию регрессия строится по всему диапазону данных.

Параметр extent ограничивает область вычислений:

{
  regression: "y",
  on: "x",
  extent: [0, 100]
}

Возврат коэффициентов модели

Параметр params: true возвращает параметры регрессии вместо линии.

Пример:

{
  transform: [
    {
      regression: "y",
      on: "x",
      params: true
    }
  ]
}

Результат содержит:

коэффициенты;
R²;
степень полинома;
информацию о модели.

Использование params с Vega

В чистом Vega можно использовать результаты регрессии для динамических вычислений и кастомной логики.

Пример структуры результата:

[
  {
    coef: [1.02, 0.95],
    rSquared: 0.98
  }
]

Коэффициент детерминации R²

R² показывает качество аппроксимации.

Диапазон:

Значение	Интерпретация
1.0	Идеальное совпадение
0.8+	Хорошая модель
0.5	Средняя
< 0.3	Слабая зависимость

Групповая регрессия

groupby строит отдельные регрессии для разных категорий.

Исходные данные:

[
  {x: 1, y: 2, category: "A"},
  {x: 2, y: 3, category: "A"},
  {x: 1, y: 5, category: "B"},
  {x: 2, y: 8, category: "B"}
]

Спецификация:

{
  transform: [
    {
      regression: "y",
      on: "x",
      groupby: ["category"]
    }
  ]
}

Визуализация нескольких регрессий

const spec = {
  data: {
    values: data
  },

  layer: [
    {
      mark: "point",

      encoding: {
        x: {field: "x", type: "quantitative"},
        y: {field: "y", type: "quantitative"},
        color: {field: "category", type: "nominal"}
      }
    },

    {
      transform: [
        {
          regression: "y",
          on: "x",
          groupby: ["category"]
        }
      ],

      mark: "line",

      encoding: {
        x: {field: "x", type: "quantitative"},
        y: {field: "y", type: "quantitative"},
        color: {field: "category", type: "nominal"}
      }
    }
  ]
};

Комбинирование regression и calculate

Регрессионные данные можно дополнительно обрабатывать.

Пример:

{
  transform: [
    {
      regression: "y",
      on: "x"
    },

    {
      calculate: "datum.y * 1.1",
      as: "adjusted"
    }
  ]
}

Использование regression с интерактивностью

Регрессия может пересчитываться динамически через параметры и фильтры.

{
  params: [
    {
      name: "threshold",
      value: 10,
      bind: {
        input: "range",
        min: 0,
        max: 100
      }
    }
  ],

  transform: [
    {
      filter: "datum.x > threshold"
    },

    {
      regression: "y",
      on: "x"
    }
  ]
}

Стилизация линии регрессии

Часто линию тренда выделяют визуально.

Пример:

mark: {
  type: "line",
  color: "#ff0000",
  strokeDash: [6, 4],
  strokeWidth: 3,
  opacity: 0.8
}

Отображение доверительных интервалов

В Vega-Lite встроенной поддержки confidence interval для regression нет, однако её можно реализовать:

через предварительную обработку;
через Vega transforms;
через дополнительные вычисления;
через layering.

Производительность

Линейная регрессия вычисляется быстро даже на больших объёмах данных.

Однако:

полиномиальные модели дорогие;
высокая степень полинома увеличивает нагрузку;
большое количество групп усложняет вычисления.

Особенности regression в Vega-Lite

Трансформация:

выполняется в браузере;
не требует серверной аналитики;
работает декларативно;
хорошо интегрируется с layering;
совместима с фильтрами и параметрами.

Отличия Vega и Vega-Lite

В Vega-Lite:

проще синтаксис;
автоматическая генерация шкал;
меньше контроля над внутренней логикой.

В Vega:

больше гибкости;
доступ к pipeline обработки;
сложные вычисления;
кастомные сигналы и transforms.

Практический пример: анализ продаж

const sales = [
  {month: 1, sales: 120},
  {month: 2, sales: 135},
  {month: 3, sales: 160},
  {month: 4, sales: 180},
  {month: 5, sales: 210},
  {month: 6, sales: 260}
];

Линейный тренд:

{
  transform: [
    {
      regression: "sales",
      on: "month"
    }
  ]
}

Полиномиальный тренд:

{
  transform: [
    {
      regression: "sales",
      on: "month",
      method: "poly",
      order: 2
    }
  ]
}

Практический пример: экспоненциальный рост

const users = [
  {day: 1, users: 10},
  {day: 2, users: 15},
  {day: 3, users: 22},
  {day: 4, users: 35},
  {day: 5, users: 55}
];

Экспоненциальная модель:

{
  transform: [
    {
      regression: "users",
      on: "day",
      method: "exp"
    }
  ]
}

Типичные ошибки

Неподходящий метод регрессии

Например:

method: "linear"

для явно нелинейных данных.

Слишком высокий order

{
  method: "poly",
  order: 12
}

Почти всегда приводит к переобучению.

Нехватка данных

Полиномиальная регрессия требует достаточного числа точек.

Плохой пример:

[
  {x: 1, y: 2},
  {x: 2, y: 5},
  {x: 3, y: 9}
]

для полинома 5-й степени.

Неверный масштаб данных

Экспоненциальные и степенные модели чувствительны к:

нулям;
отрицательным значениям;
огромному разбросу.

Ситуация	Метод
Простая зависимость	`linear`
Ускоряющийся рост	`exp`
Замедляющийся рост	`log`
Параболическая форма	`quad`
Сложная кривая	`poly`
Масштабирование	`pow`

Архитектурные преимущества declarative regression

Подход Vega-Lite позволяет:

описывать аналитику декларативно;
хранить вычисления внутри спецификации;
избегать ручного расчёта коэффициентов;
синхронизировать визуализацию и обработку данных;
уменьшать объём imperative JavaScript-кода.

regression: линейная и нелинейная регрессия

Базовый принцип работы

Простейшая линейная регрессия

Как работает regression

Линейная регрессия

Явное указание метода

Нелинейная регрессия

Логарифмическая регрессия

Экспоненциальная регрессия

Степенная регрессия

Квадратичная регрессия

Полиномиальная регрессия

Использование method: poly

Полный пример полиномиальной регрессии

Параметр order

Опасность переобучения

Управление диапазоном через extent

Возврат коэффициентов модели

Использование params с Vega

Коэффициент детерминации R²

Групповая регрессия

Визуализация нескольких регрессий

Комбинирование regression и calculate

Использование regression с интерактивностью

Стилизация линии регрессии

Отображение доверительных интервалов

Производительность

Особенности regression в Vega-Lite

Отличия Vega и Vega-Lite

Практический пример: анализ продаж

Практический пример: экспоненциальный рост

Типичные ошибки

Неподходящий метод регрессии

Слишком высокий order

Нехватка данных

Неверный масштаб данных

Рекомендации по выбору модели

Архитектурные преимущества declarative regression